Задайте местоположението за доставка, за да видите продуктите според вашето избиране.
Фигура на Алената вещица с подвижна глава от комиксовата поредица на Marvel The X-Men.
Фигура на Алената вещица с подвижна глава от комиксовата поредица на Marvel The X-Men.
Вече е в количката от друг магазин
27 Coins
За да спечелите Skroutz Coins, присъединете се към Skroutz Plus и приемете условията на програмата за награди.
Избирате "Поръчка за подарък" в количката. Не включваме касова бележка в пакета и предоставяме електронна карта за замяна, за всеки случай.
Фигура на Алената вещица с подвижна глава от комиксовата поредица на Marvel The X-Men.
Спецификациите са събрани от официални уебсайтове на производителите. Моля, проверете ги, преди да продължите с окончателната си покупка. Ако забележите някакъв проблем, докладвайте го тук.
Потвърдена покупка
точно както е на снимката
ακριβώς όπως είναι στην φωτογραφία
Потвърдена покупка
We can solve this problem using generating functions. Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball. We can solve this by using the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE). The total number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes is $k^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least one box is empty is $\binom{k}{1} \cdot (k-1)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least two boxes are empty is $\binom{k}{2} \cdot (k-2)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least three boxes are empty is $\binom{k}{3} \cdot (k-3)^n$. We can continue this pattern until we reach $\binom{k}{k} \cdot (k-k)^n = 1$. To find the number of ways to distribute the balls such that no box contains more than $1$ ball, we subtract the sum of the number of ways to distribute the balls such that at least one box contains more than $1$ ball, from the total number of ways to distribute the balls. Thus, the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball is $k^n - \binom{k}{1} \cdot (k-1)^n + \binom{k}{2} \cdot (k-2)^n - \binom{k}{3} \cdot (k-3)^n + \cdots + (-1)^{k-1} \cdot \binom{k}{k} \cdot (k-k)^n$. We can simplify this expression as follows: \begin{align*}
\sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n &= \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
Мисля, че отговорът е $\binom{n+k-1}{k}$, но не съм сигурен как да го докажа. Зная, че броят на начините да разпределим $n$ различими обекти в $k$ различими кутии е $k^n$, но не съм сигурен как да го използвам тук.
Biko03 2019-02-25: Нека разгледаме броя на начините да разпределим $n$ обекта в $k$ кутии, така че нито една кутия да не е празна.
За да направим това, можем да използваме принципа на включването и изключването. Имаме $k$ избора за първия обект, $k-1$ избора за втория, $k-2$ избора за третия и т.н. Това ни дава $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ начина да разпределим обектите в кутиите. Обаче това брои начините да разпределим обектите без да взимаме под внимание реда, в който са поставени в кутиите. Тъй като редът, в който са поставени обектите, не има значение, трябва да разделим на $n!$ за да коригираме за това преброяване. Така броят на начините да разпределим обектите е
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Броят на начините да разпределим обектите така, че всяка кутия да получи поне един обект, е тогава
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Това се опростява до
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Така броят на начините да разпределим $n$ неразличими топки в $k$ различими кутии, така че всяка кутия да съдържа поне една топка, е $\boxed{\binom{k}{n}}$
Ότι καλυτεροοοοοοοοοοοοοοοοοο
Потвърдена покупка
Много хубаво!!!! Перфектно за някой, който е зависим от Уанда, като мен
Πολύ ωραίο!!!!Τέλειο για έναν εθισμένο με την Wanda όπως εγώ
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
точно както е на снимката
ακριβώς όπως είναι στην φωτογραφία
We can solve this problem using generating functions. Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball. We can solve this by using the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE). The total number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes is $k^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least one box is empty is $\binom{k}{1} \cdot (k-1)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least two boxes are empty is $\binom{k}{2} \cdot (k-2)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least three boxes are empty is $\binom{k}{3} \cdot (k-3)^n$. We can continue this pattern until we reach $\binom{k}{k} \cdot (k-k)^n = 1$. To find the number of ways to distribute the balls such that no box contains more than $1$ ball, we subtract the sum of the number of ways to distribute the balls such that at least one box contains more than $1$ ball, from the total number of ways to distribute the balls. Thus, the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball is $k^n - \binom{k}{1} \cdot (k-1)^n + \binom{k}{2} \cdot (k-2)^n - \binom{k}{3} \cdot (k-3)^n + \cdots + (-1)^{k-1} \cdot \binom{k}{k} \cdot (k-k)^n$. We can simplify this expression as follows: \begin{align*}
\sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n &= \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
Мисля, че отговорът е $\binom{n+k-1}{k}$, но не съм сигурен как да го докажа. Зная, че броят на начините да разпределим $n$ различими обекти в $k$ различими кутии е $k^n$, но не съм сигурен как да го използвам тук.
Biko03 2019-02-25: Нека разгледаме броя на начините да разпределим $n$ обекта в $k$ кутии, така че нито една кутия да не е празна.
За да направим това, можем да използваме принципа на включването и изключването. Имаме $k$ избора за първия обект, $k-1$ избора за втория, $k-2$ избора за третия и т.н. Това ни дава $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ начина да разпределим обектите в кутиите. Обаче това брои начините да разпределим обектите без да взимаме под внимание реда, в който са поставени в кутиите. Тъй като редът, в който са поставени обектите, не има значение, трябва да разделим на $n!$ за да коригираме за това преброяване. Така броят на начините да разпределим обектите е
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Броят на начините да разпределим обектите така, че всяка кутия да получи поне един обект, е тогава
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Това се опростява до
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Така броят на начините да разпределим $n$ неразличими топки в $k$ различими кутии, така че всяка кутия да съдържа поне една топка, е $\boxed{\binom{k}{n}}$
Ότι καλυτεροοοοοοοοοοοοοοοοοο
Много хубаво!!!! Перфектно за някой, който е зависим от Уанда, като мен
Πολύ ωραίο!!!!Τέλειο για έναν εθισμένο με την Wanda όπως εγώ
35 потребителя имат този продукт и могат да Ви помогнат
Попитайте за продуктаФигура на Алената вещица с подвижна глава от комиксовата поредица на Marvel The X-Men.
Спецификациите са събрани от официални уебсайтове на производителите. Моля, проверете ги, преди да продължите с окончателната си покупка. Ако забележите някакъв проблем, докладвайте го тук.
Потвърдена покупка
точно както е на снимката
ακριβώς όπως είναι στην φωτογραφία
Потвърдена покупка
We can solve this problem using generating functions. Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball. We can solve this by using the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE). The total number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes is $k^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least one box is empty is $\binom{k}{1} \cdot (k-1)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least two boxes are empty is $\binom{k}{2} \cdot (k-2)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least three boxes are empty is $\binom{k}{3} \cdot (k-3)^n$. We can continue this pattern until we reach $\binom{k}{k} \cdot (k-k)^n = 1$. To find the number of ways to distribute the balls such that no box contains more than $1$ ball, we subtract the sum of the number of ways to distribute the balls such that at least one box contains more than $1$ ball, from the total number of ways to distribute the balls. Thus, the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball is $k^n - \binom{k}{1} \cdot (k-1)^n + \binom{k}{2} \cdot (k-2)^n - \binom{k}{3} \cdot (k-3)^n + \cdots + (-1)^{k-1} \cdot \binom{k}{k} \cdot (k-k)^n$. We can simplify this expression as follows: \begin{align*}
\sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n &= \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
Мисля, че отговорът е $\binom{n+k-1}{k}$, но не съм сигурен как да го докажа. Зная, че броят на начините да разпределим $n$ различими обекти в $k$ различими кутии е $k^n$, но не съм сигурен как да го използвам тук.
Biko03 2019-02-25: Нека разгледаме броя на начините да разпределим $n$ обекта в $k$ кутии, така че нито една кутия да не е празна.
За да направим това, можем да използваме принципа на включването и изключването. Имаме $k$ избора за първия обект, $k-1$ избора за втория, $k-2$ избора за третия и т.н. Това ни дава $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ начина да разпределим обектите в кутиите. Обаче това брои начините да разпределим обектите без да взимаме под внимание реда, в който са поставени в кутиите. Тъй като редът, в който са поставени обектите, не има значение, трябва да разделим на $n!$ за да коригираме за това преброяване. Така броят на начините да разпределим обектите е
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Броят на начините да разпределим обектите така, че всяка кутия да получи поне един обект, е тогава
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Това се опростява до
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Така броят на начините да разпределим $n$ неразличими топки в $k$ различими кутии, така че всяка кутия да съдържа поне една топка, е $\boxed{\binom{k}{n}}$
Ότι καλυτεροοοοοοοοοοοοοοοοοο
Потвърдена покупка
Много хубаво!!!! Перфектно за някой, който е зависим от Уанда, като мен
Πολύ ωραίο!!!!Τέλειο για έναν εθισμένο με την Wanda όπως εγώ
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
Потвърдена покупка
точно както е на снимката
ακριβώς όπως είναι στην φωτογραφία
We can solve this problem using generating functions. Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball. We can solve this by using the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE). The total number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes is $k^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least one box is empty is $\binom{k}{1} \cdot (k-1)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least two boxes are empty is $\binom{k}{2} \cdot (k-2)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least three boxes are empty is $\binom{k}{3} \cdot (k-3)^n$. We can continue this pattern until we reach $\binom{k}{k} \cdot (k-k)^n = 1$. To find the number of ways to distribute the balls such that no box contains more than $1$ ball, we subtract the sum of the number of ways to distribute the balls such that at least one box contains more than $1$ ball, from the total number of ways to distribute the balls. Thus, the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball is $k^n - \binom{k}{1} \cdot (k-1)^n + \binom{k}{2} \cdot (k-2)^n - \binom{k}{3} \cdot (k-3)^n + \cdots + (-1)^{k-1} \cdot \binom{k}{k} \cdot (k-k)^n$. We can simplify this expression as follows: \begin{align*}
\sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n &= \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
Мисля, че отговорът е $\binom{n+k-1}{k}$, но не съм сигурен как да го докажа. Зная, че броят на начините да разпределим $n$ различими обекти в $k$ различими кутии е $k^n$, но не съм сигурен как да го използвам тук.
Biko03 2019-02-25: Нека разгледаме броя на начините да разпределим $n$ обекта в $k$ кутии, така че нито една кутия да не е празна.
За да направим това, можем да използваме принципа на включването и изключването. Имаме $k$ избора за първия обект, $k-1$ избора за втория, $k-2$ избора за третия и т.н. Това ни дава $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ начина да разпределим обектите в кутиите. Обаче това брои начините да разпределим обектите без да взимаме под внимание реда, в който са поставени в кутиите. Тъй като редът, в който са поставени обектите, не има значение, трябва да разделим на $n!$ за да коригираме за това преброяване. Така броят на начините да разпределим обектите е
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Броят на начините да разпределим обектите така, че всяка кутия да получи поне един обект, е тогава
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Това се опростява до
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Така броят на начините да разпределим $n$ неразличими топки в $k$ различими кутии, така че всяка кутия да съдържа поне една топка, е $\boxed{\binom{k}{n}}$
Ότι καλυτεροοοοοοοοοοοοοοοοοο
Много хубаво!!!! Перфектно за някой, който е зависим от Уанда, като мен
Πολύ ωραίο!!!!Τέλειο για έναν εθισμένο με την Wanda όπως εγώ
